π的一天快乐。是的，是3月14日。如果你像美国人那样写这个日期，它看起来像这样:3/14，那个看起来像3/14。虽然不是最好的表示，但还是可以的。按照我的传统，我要用圆周率来做一些事情。(我必须让这条记录保持下去——我的第一个圆周率日帖子是在2010年。)
对于今天的pi帖子，我们来谈谈火车和其他东西。特别是，火车是如何保持在轨道上的——尤其是当轨道上有曲线的时候?很简单对吧?你可能会认为这些车轮在轨道内有一个凸缘，以防止车轮脱落。如果你看着车头朝上的火车车轮，你可能会认为它是这样的:
说明:瑞德艾蓝
这怎么会是个问题呢?好吧，让我们从头开始。轮子是如何滚动的?你可能有一个方便的轮子，如果没有，这是当我的自行车滚动时它看起来像。注意:我添加了一块胶带到前轮，所以你可以看到如何角度位置的车轮变化。
视频:瑞德艾蓝现在假设我在视频的每一帧中测量了轮子的角度位置以及轮子中心的水平位置。这是它看起来的样子:
说明:瑞德艾蓝
注意到车轮的角度位置和水平位置之间有一个很好的线性关系吗?这条线的斜率是每度0.006米。如果你有一个更大半径的轮子，它会在每次旋转中移动更大的距离，所以很明显，这个斜率与轮子的半径有关。我们把它写成下面的表达式:
说明:瑞德艾蓝
在这个方程中，是车轮中心移动的距离。半径为，角位置为θ。剩下-这只是一个比例常数。因为vs. θ是线性函数，所以一定是直线的斜率。我已经知道这个斜率的值，我可以测量车轮的半径为0.342米。这样，我就得到了一个值0.0175439，单位为1/度。
大不了的,对吧?不,它是。看看这个。如果把它的值乘以180°会怎样?的值是3.15789。是的，这确实非常接近pi = 3.1415的值(至少是pi的前5位)。这是一种将角度单位转换成更好的角度单位的方法，我们称之为弧度。如果车轮的角度是用弧度来测量的，等于1，你就会得到以下可爱的关系:
说明:瑞德艾蓝
这个方程有两个重要的东西。首先，从技术上讲，这里有一个圆周率，因为这个角度是用弧度表示的(圆周率日)。第二，这是火车保持在轨道上的方式。认真对待。
好的，那么火车轮子在轨道上有什么问题呢?如果你能看一下火车的轮子，你会看到轮子是成对的。每个轮子都连接到另一个轮子上的轨道。连接两个轮子的轴是固定的。这意味着如果左轮旋转一圈，那么右轮也必须旋转一圈。
现在想象一下，一列火车的车轴在轨道上转弯行驶。这里有一个图表，展示了一些重要的事情。
说明:瑞德艾蓝
请注意，内轨是半径为R1的圆的一部分。还有一个外轨，它是一个更大半径R2的圆的一部分。所以，在这个运动中，当轴从开始位置移动到结束位置时，两个轮子必须移动相同的角度θ，以使轴与轨道转动。但这意味着外轮走了s2 = R2θ的距离(假设θ是用弧度测量的)，内轮走了更短的s1 = R1θ的距离。
但这几乎是不可能的。如果两个轮子旋转相同的量，它们必须滚动相同的距离。唯一的方法是让一个平坦的火车轮子做这个转弯是其中一个轮子停止滚动和开始滑动。当然，在火车轨道上滑动的轮子会在某种程度上推翻最初使用轮子的全部理由。
这个问题的解决方案是有锥形的火车车轮，而不是平车轮。这是一个夸张的火车车轮坐在轨道上的视图。
说明:瑞德艾蓝
对于直线轨道，两个轮子应该在这样的位置，轮子在接触点的半径是相同的。这意味着两个轮子旋转的量相同，走的距离相同。轴是直的，并保持在轨道上。但是现在想象轨道向右转(从你的观点来看)。外面的轮子(图中左边的那个)必须走更远的距离。这是因为整个车轴向左移动，这样它就能在车轮半径较大的一点上与轨道接触。
说明:瑞德艾蓝
这实际上是一种魔法。如果左轮在直线轨道上骑得太高，则会有较大的车轮半径。在这个更大的半径下，在相同的旋转次数下，这个左轮会移动得更远。这将导致轮轴移动，使车轮接触在一个较小的半径点。这将使轴移动回到中心位置。这是自我校正。看看这个。我自己做了一个火车轮轴。你可以看到，即使车轴并没有完全与轨道对齐，它还是保持在轨道上。
视频:瑞德艾蓝如果你转动轮子，让轮子较薄的部分朝向轨道内侧，而轮子较大的部分朝向轨道外侧，会怎么样?在这种情况下，它是失败的。如果轮子不是完全居中，一个轮子会有一个半径比另一个轮子大的接触点。这个更大的接触半径将使轮子移动更大的距离，整个轴将移动。但由于车轮外侧变宽了，它的半径就更大了。这只会让整件事更加偏离正轨。检查出来。
视频:瑞德艾蓝是的，我知道我的轮子并不完美——但想象一下它们是完美地排列在一起的。即使是轻微的轴向左倾斜，也会导致左轮移动到更小的半径，造成更大的倾斜。整个车轴就会脱离轨道。这种情况在弯曲的铁轨上可能会更糟，也会产生脱轨事件。在火车的世界里，有一个词来形容这种情况，叫做“坏”。但我们不用担心这个。我们的火车轮子工作得很好，它们也使用圆周率。祝大家圆周率日快乐。
